পদার্থবিজ্ঞান বিষয়ে এ প্লাস পাওয়ার জন্য গ ঘ প্রশ্নের পাশাপাশি জ্ঞান এবং অনুধাবনামূলক প্রশ্ন ভালো করা খুবই জরুরী । তোমরা অনেকেই আছো যারা ম্যাথ নিয়ে খুবই এক্সপার্ট হয়ে যাও কিন্তু শেষে দেখা যায় যে তুমি ক খ প্রশ্নের উত্তর করতে পারো না। তোমাদের এই ক খ প্রশ্নের উত্তর করাক সহজ করার জন্য আমাদের আজকের এই পোস্টে পদার্থবিজ্ঞান প্রথম পত্রের গুরুত্বপূর্ণ চ্যাপ্টার ভেক্টরের কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন দেওয়া আছে যা বিগত বছরগুলোতে বোর্ড পরীক্ষাতে এসেছে।
ভেক্টর অনুধাবনমূলক প্রশ্নের তালিকা
ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে-ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ কোনো স্কেলার রাশির উপর ভেক্টর অপারেটর (ডেল অপারেটর, ট) ব্যবহার করলে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া যায়। এটিকে স্কেলার রাশির গ্রেডিয়েন্ট বলা হয়। এই ভেক্টর রাশিটি একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর ক্ষেত্রে স্কেলার রাশিটির পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে। এ স্কেলার রাশিটির ভেক্টর রূপ নয়, বরং ভেক্টর ক্ষেত্রে স্কেলার রাশিটির পরিবর্তনের হার নির্দেশক ভেক্টর রাশি। এভাবেই ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে।
ট্রলি বেগের হাতল লম্বা রাখার সুবিধা কী?
উত্তরঃ ট্রলি ব্যাগের হাতল যত লম্বা হবে হাতল ও ভূমির মধ্যবর্তী কোণ তত কমবে।
এতে অনুভূমিক উপাংশের মান বাড়বে আর উলম্ব উপাংশ কমবে।
হাতল যত লম্বা ও তত কম। অর্থাৎ, cosθ তত বড় হবে আর Fcosθ এর মান বাড়বে। Fcosθ এর মান অর্থাৎ, অনুভূমিক উপাংশ বাড়লে ট্রলি ব্যাগ টানা সহজতর হবে।

তিনটি ভেক্টরের লব্ধি কখন শূন্য হয়?
উত্তরঃ তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হয় যখন কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু একইক্রমে তিনটি ভেক্টর নির্দেশ করে।
পাশের চিত্রে ত্রিভুজ ABC এর লব্ধি হবে, AB+BC+ СА = 0

নাল ভেক্টরের দিক ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে। একটি ভেক্টরের সাথে তার বিপরীত ভেক্টর যোগ করে বা দুটি সমান ভেক্টর বিয়োগ করে নাল ভেক্টর পাওয়া যায়। নাল ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু একই বিন্দুতে হয়। তাই নাল ভেক্টরের কোনো সুনির্দিষ্ট দিক নেই। নাল ভেক্টরকে সাধারণত 0 দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
নৌকার গুণ টানার সময় দড়ি যত লম্বা হয় নৌকা তত দ্রুত চলে কেন? ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ
অত্তর গুণের দড়ি যত লম্বা হবে তা তত কম উৎপন্ন করবে অনুভূমিকের সাথে অর্থাৎ দড়ি ভূমির কাছাকাছি থাকবে। θ এর মান কম হলে cosθ এর মান বেশি হবে। অনুভূমিক উপাংশ Fcosθ ও বেশি হবে। এতে নৌকা সহজে টেনে নেওয়া যাবে।
দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে না কেন? ব্যাখ্যা কর।
উত্তর দুটি অসমান সমজাতীয় ভেক্টরের লব্ধির সর্বনিম্ন মান ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান। এক্ষেত্রে ভেক্টরদ্বয় সমান না হওয়ায় এদের লব্ধি কখনোই শূন্য হতে পারবে না।
অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর ব্যাখ্যা কর।
উত্তর প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় বা নির্দেশ করা হয় তাকে বলে অবস্থান ভেক্টর। সীমাবদ্ধ ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট থাকে। ফলে পাদবিন্দুর অবস্থান পরিবর্তন করা যায় না। অবস্থান ভেক্টরের ক্ষেত্রেও পাদবিন্দু প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুতে নির্দিষ্ট থাকে। তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।
দুইয়ের অধিক ভেক্টর রাশির যোগের নিয়ম ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ দুইয়ের অধিক একজাতীয় ভেক্টরের লব্ধি নির্ণয়ে বহুভুজ সূত্র ব্যবহৃত হয়। একই জাতীয় দুই এর অধিক ভেক্টর রাশির যোজনের ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলোর একটির শীর্ষবিন্দুর উপর অপরটির পাদবিন্দু রেখে একইক্রমে সাজিয়ে প্রথম ভেক্টরের পাদবিন্দু থেকে শেষ ভেক্টরের শীর্ষবিন্দু যোগ করলে যে বহুভুজ পাওয়া যায় তার শেষ বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরগুলোর লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।

ঘর্ষণ বল কি অসংরক্ষণশীল বল? ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ হ্যাঁ, ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল। এক্ষেত্রে কোনো এক বিন্দু হতে যাত্রা শুরু করে যে কোনো পথে আবার ঐ বিন্দুতে ফিরে এলে কৃতকাজ শূন্য হয় না। ঘর্ষণ বল দ্বারা কাজ আদি ও চূড়ান্ত বিন্দুর উপর নির্ভর করে না, গতিপথের উপর নির্ভর করে। পূর্ণচক্রে মোট কাজ শূন্য হয় না এবং যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতার সূত্রও প্রযোজ্য হয় না। ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ পুনরুদ্ধার সম্ভব নয়। এসব অসংরক্ষণশীল বলের বৈশিষ্ট্য হওয়ায় ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল।
লন রোলার ঠেলা অপেক্ষা টানা সহজ কেন? ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ রোলারের ওজন W ও হাতলের ওপর প্রযুক্ত বল হলে টবল রোলারের বিন্দুতে অনুভূমিকের সাথে ও কোণ ক্রিয়াশীল।

ভেক্টরের ডাইভারজেন্সের বৈশিষ্ট্য কী কী?
উত্তরঃ ভেক্টর ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার ক্ষেত্র যা দ্বারা ভেক্টরক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ফ্লাক্সের প্রকৃতি (বহিঃ/অন্তঃ) জানা যায়। ভেক্টর ডাইভারজেন্সের বৈশিষ্ট্যসমূহ নিম্নরূপ:
- ডাইভারজেন্স দ্বারা একক আয়তনে কোনো দিক রাশির মোট কতটুকু ফ্লাক্স কোনো বিন্দু অভিমুখী বা অপসারী হচ্ছে তা প্রকাশ করে। – বা div V দ্বারা তরল পদার্থের ঘনত্ব পরিবর্তনের হার বুঝায়।
- – এর মান (+)ve হলে আয়তন বৃদ্ধি বা ঘনত্ব হ্রাস বুঝায়।
- V. V এর মান (-)ve হলে আয়তন সংকোচন বা ঘনত্ব বৃদ্ধি বুঝায়।
- Divergence = 0 হলে আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান হয়। এক্ষেত্রে ভেক্টরক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল বলে।

নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে বৈঠার প্রয়োজনীয়তা কী? ব্যাখ্যা কর
উত্তরঃ নৌকাকে F বলে টানা হলে এর উপাংশ Fcosθ নৌকাকে সামনে এগিয়ে নিয়ে যায়, আর Fsinθ উপাংশ নৌকাকে পাড়ের দিকে টানে। এ F sinθ কে প্রতিহত করতে বৈঠা প্রয়োজন হয়। বৈঠা দিয়ে পাড় বরাবর উপাংশ প্রশমিত করে নৌকা সামনের দিকে এগিয়ে যায়।

“আয়ত একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট হলেও একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট নয়”-ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ যে ভেক্টর রাশির মান এক একক, তা একক ভেক্টর। কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে একক ভেক্টর পাওয়া যায় এবং সেই একক ভেক্টরের দিক হয় ঐ ভেক্টরের দিকে বা তার সমান্তরালে। কিন্তু ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর বিবেচনা করা হয়, তাদেরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় x-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর একক ভেক্টর 1, y-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর একক ভেক্টর ও z-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর একক ভেক্টর f.i.j. k হল আয়ত একক ভেক্টর। এরা একক ভেক্টর হলেও দিকস্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অক্ষত্রয়ের দিকে। অন্যদিকে, একক ভেক্টরের দিক যেকোনো দিকে হতে পারে, তা নির্দিষ্ট নয়।

কোনো ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টর এবং বিপ্রতীপ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা একই হয়”-ব্যাখ্যা কর
উত্তরঃ দুটি ভেক্টরের পরমমান সমান কিন্তু অভিমুখ বিপরীত হলে তাদেরকে বিপরীত ভেক্টর বলে। যেমন: P ও পরস্পর বিপরীত ভেক্টর। অন্যদিকে, দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ হলে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। যেমন: 5i ও পরস্পর বিপ্রতীপ ভেক্টর। দেখা যায়, বিপরীত ভেক্টরের দিক মূল ভেক্টরের বিপরীত দিকে কিন্তু বিপ্রতীপ ভেক্টরের দিক মূল ভেক্টরের একই দিকে। অর্থাৎ, কোনো ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টর ও বিপ্রতীপ ভেক্টর এর দিক সর্বদা বিপরীত দিকে। তথা মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা 180° হয়।
সমান ভেক্টর, সমান্তরাল ভেক্টর কিনা? ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ দুটি ভেক্টর সমান হলে তাদের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হয়। দুটি সমান ভেক্টরের আদি ও পাদ বিন্দু অভিন্ন হলে এদের ধারকরেখা একই। অন্যথায়, দুটি সমান ভেক্টরের আদি ও পাদবিন্দু ভিন্ন কিন্তু সমান ভেক্টরের মান ও দিক একই হওয়ায় এদের ধারকরেখা সমান্তরাল হয়। এক্ষেত্রে, সমান ভেক্টর দুটি সমান্তরাল ভেক্টরও হয়।
i ও j এর মধ্যবর্তী কোণ 90° এর চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়-ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ i হচ্ছে -অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর। j হচ্ছে y-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর। x-অক্ষ এবং y-অক্ষ এর মধ্যবর্তী কোণ 90°। তাই। এবং এর মধ্যবর্তী কোণ 90° এর কম হওয়া সম্ভব নয়।
দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না-ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মানে না। কারণ A × B = AB sinθ। এখানে, .A × B এর দিক নির্দেশ করে। A x B এবং B × A এর মান সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী। অর্থাৎ, A×B=BxA। ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মানে না।
k x k একটি নাল ভেক্টর। ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ kxk=k.ksin0° η = 0η ; k x k = 0 | k x k ভেক্টরের মান শূন্য। তাই k x k একটি নাল ভেক্টর
একই তলে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরকে ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং বিপরীত দিকে ঘোরালে লব্ধির দিক একই হবে কিনা ব্যাখ্যা কর।
উত্তর: একই তলে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের একটিকে ৫ কোণে ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং বিপরীত দিকে ঘোরালে লব্ধির মান সমান হলেও দিক সমান হবে না। কারণ লব্ধি যদি কোনো ভেক্টরের সাথে θ কোণ তৈরি করে তবে,

অর্থাৎ, লব্ধির দিক একই হবে না।
লম্বাংশের সাহায্যে ভেক্টর রাশির যোজন ব্যাখ্যা কর।
উত্তর একটি ভেক্টর রাশিকে পরস্পর লম্ব দুটি উপাংশে বিভক্ত করা হলে তাদের লম্বাংশ বলে। একটি ভেক্টর ঐ কে দুটি লম্ব উপাংশ P এবং Q এ বিভক্ত করা হলো। P এবং হচ্ছে R এর লম্বাংশ। এদের ভেক্টর যোজন


পাখি ওড়ার ক্ষেত্রে ভেক্টর যোজন নীতি ব্যাখ্যা কর।
উত্তর: পাখি ওড়ার সময় সামান্তরিক সূত্র মেনে চলে। A ও B বিন্দু দুটি পাখির ডানার প্রান্ত নির্দেশ করে। A তবে ডানা দুটি দিয়ে পাখিটি যথাক্রমে F₁ ও F₂ বল প্রয়োগ করে এবং বিপরীত দিকে প্রতিক্রিয়া বল R₁ ও R₂ অনুভব করে। R₁ এবং R₂ এর লব্ধি R পাখিটিকে বায়ুতে ভাসিয়ে রাখে। F RR

বায়ুপ্রবাহ না থাকলেও একজন সাইকেল আরোহী বাতাসের ঝাপটা অনুভব করেন কেন? ব্যাখ্যা কর।
উত্তর সাইকেলে চলার সময় বায়ুপ্রবাহ না থাকলেও আরোহীর সাপেক্ষে বাতাসের আপেক্ষিক বেগ বিদ্যমান থাকে। সাইকেল চলার সময় সাইকেল যেদিকে যায়, আরোহীর কাছে মনে হয় বায়ু তার বিপরীত দিকে যাচ্ছে (যদি বায়ু প্রকৃতপক্ষে স্থির থাকে)। তাই বিপরীত দিকে বায়ুর আপেক্ষিক বেগের কারণে আরোহী বাতাসের ঝাপটা অনুভব করে।
ডান হাতি স্ক্র নিয়মের সাহায্যে বোতলের মুখ খোলা বা বন্ধ করা যায়- ব্যাখ্যা কর।
উত্তর ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসারে কোনো ক্রুকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরানো হলে ক্রু বাইরের দিকে আসবে এবং সংশ্লিষ্ট ভেক্টর রাশির দিক হবে তল বরাবর বহির্মুখী। আর ঘূর্ণনের দিক ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে হলে সংশ্লিষ্ট ভেক্টর রাশির দিকে হবে তল বরাবর অন্তর্মুখী। বোতলের মুখ খোলা বা বন্ধ করার ক্ষেত্রেও এরূপ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে মুখ খুলে ও ঘড়ির কাঁটার দিকে বোতলের মুখ বন্ধ হয়। অর্থাৎ, ডানহাতি ক্রু নিয়মের সাহায্যে বোতলের মুখ খোলা বা বন্ধ করা যায়।
একইক্রমে ক্রিয়াশীল তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে- ব্যাখ্যা কর।
উত্তর: এখন, একইক্রমে ক্রিয়াশীল P,Q ও R তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হবে যদি এদের যেকোনো দুটি লব্ধির মান অপরটির সমান কিন্তু বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল হয়। সুতরাং, একইক্রমে ক্রিয়াশীল তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে।

সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়-ব্যাখ্যা কর।
উত্তর সমরেখ ভেক্টর: যেসব সমতলীয় ভেক্টর এর ধারক রেখা সমান বা সমান্তরাল তারা সমরেখ ভেক্টর। সমান ভেক্টর: যে সকল সমজাতীয় সমরেখ ভেক্টর এর মান সমান তারা সমান ভেক্টর। অর্থাৎ, সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়।
একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে কি না তা ব্যাখ্যা কর।
উত্তর ধরি, দুইটি ভেক্টর A, B এবং তাদের যোগফল ও বিয়োগফল সমান।

সুতরাং, যেকোনো একটি নাল ভেক্টর হলে অথবা তাদের মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে ভেক্টরদ্বয়ের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হওয়া সম্ভব।
আমাদের পায়ে হাঁটা কীভাবে ভেক্টর বিভাজনের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যায়?
উত্তর হাঁটার সময় আমরা মাটিতে তীর্যকভাবে বল প্রয়োগ করি। মাটিও একই বলে আমাদের ধাক্কা দেয়। ধরি, মাটির প্রতিক্রিয়া বল R। এই বলের অনুভূমিক উপাংশ (R) আমাদের সামনে নিয়ে যায় এবং উলম্ব উপাংশ (Ry) ওজনকে প্রশমিত করে।

একটি ভারী বস্তুকে স্বল্প কোণে টেনে নেওয়ার কারণ ব্যাখ্যা কর।
উত্তর:কোনো বস্তুকে F বলে ৪ কোণে টানলে বস্তুর উপর ক্রিয়ারত অনুভূমিক বল, Fx = F cosθ । এই বলটিই বস্তুটিকে সামনে নিয়ে যায়। সুতরাং, Fx যত বেশি হবে বস্তুকে সামনে নিয়ে যাওয়া তত সহজ হবে। কোণের মান কম হলে, cosθ এর মান বৃদ্ধি পাবে। ফলে F ও বাড়বে। তাই ভারী বস্তুকে টানার সময় স্বল্প কোণে টানা হয়।

একটি বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যেতে পারে- ব্যাখ্যা কর।
উত্তর দুটি ভেক্টর যদি পরস্পর সমান্তরাল হয় এবং একটির মান যদি অপরটির বিপ্রতীপ হয়, তবে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। দুইটি ভেক্টরের ধারক রেখা সমান্তরাল হলে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে। বিপ্রতীপ ভেক্টরের ধারক রেখাও সমান্তরাল থাকে। তাই বিপ্রতীপ রেখাকে সমরেখ ভেক্টরও বলা যায়।
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা হলে টানা সহজ হয় কেন?
উত্তর মনে করি, ০ বিন্দুতে ট্রলি ব্যাগের হাতল সংযুক্ত। বিভাজন পদ্ধতি দ্বারা ০ বিন্দুতে F কে দুটি উপাংশ B বিভাজিত করা যায়। যথা, অনুভূমিক উপাংশ ও উল্লম্ব উপাংশ। অনুভূমিক উপাংশ Fcos 0. এর দিক OA বরাবর। উল্লম্ব উপাংশ = F sin 0, এর দিক OB বরাবর। বলের অনুভূমিক উপাংশ Fcos ব্যাগটিকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায়। হাতল যত বড় হবে, ও এর মান তত কম হবে। ফলে Fsin e এর মান কম হবে এবং Fcose এর মান বেশি হবে অর্থাৎ, হাতল বেশি লম্বা হলে ব্যাগ টানা সহজ হয়। কেননা তাতে ব্যাগ দ্রুত সামনের দিকে এগিয়ে যায়।

সকল সমান ভেক্টর সদৃশ ভেক্টর কিন্তু সকল সদৃশ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয় কেন?
উত্তর একটি ভেক্টর পরিমাপের দুইটি বৈশিষ্ট্য থাকে। যথা- (i) মান ও (ii) দিক। সমান ভেক্টরের মান ও দিক উভয়ই সমান তাই সকল সমান ভেক্টর সদৃশ। অপরদিকে সদৃশ ভেক্টরের দিক এক হলেও মান ভিন্ন হতে পারে। তাই সকল সদৃশ ভেক্টর সমান ভেক্টর হতে পারে না।